Вопрос:

Найти касательную точки на кубической кривой безье

ios swift bezier

17124 просмотра

5 ответа

21084 Репутация автора

Для кубической кривой Безье с обычными четырьмя точками a, b, c и d,

для заданного значения t,

как наиболее элегантно найти тангенс в этот момент?

Автор: Fattie Источник Размещён: 03.11.2010 04:49

Ответы (5)


31 плюса

161008 Репутация автора

Решение

Тангенс кривой является просто его производной. Параметрическое уравнение, которое использует Михаль:

P(t) = (1 - t)^3 * P0 + 3t(1-t)^2 * P1 + 3t^2 (1-t) * P2 + t^3 * P3

должен иметь производную от

dP(t) / dt =  -3(1-t)^2 * P0 + 3(1-t)^2 * P1 - 6t(1-t) * P1 - 3t^2 * P2 + 6t(1-t) * P2 + 3t^2 * P3 

Что, кстати, кажется неправильным в вашем предыдущем вопросе. Я считаю, что вы используете наклон для квадратичной кривой Безье, а не кубической.

Оттуда должно быть тривиально реализовать функцию C, которая выполняет этот расчет, как это сделал Михал для самой кривой.

Автор: Brad Larson Размещён: 03.11.2010 08:35

7 плюса

21084 Репутация автора

Здесь полностью протестирован код для копирования и вставки:

Он рисует аппроксимирующие точки вдоль кривой и рисует касательные.

bezierInterpolation находит точки

bezierTangent находит касательные

Есть две версии на bezierInterpolationпоставки ниже:

bezierInterpolation отлично работает

altBezierInterpolationточно такая же, НО она написана расширенным, очень понятным, объяснительным образом. Это делает арифметику намного легче понять.

Используйте одну из двух подпрограмм: результаты идентичны.

В обоих случаях используйте bezierTangentдля определения касательных. (Примечание: легендарная база кода Михала здесь .)

Также приведен полный пример того, как использовать drawRect:.

// MBBezierView.m    original BY MICHAL stackoverflow #4058979

#import "MBBezierView.h"



CGFloat bezierInterpolation(
    CGFloat t, CGFloat a, CGFloat b, CGFloat c, CGFloat d) {
// see also below for another way to do this, that follows the 'coefficients'
// idea, and is a little clearer
    CGFloat t2 = t * t;
    CGFloat t3 = t2 * t;
    return a + (-a * 3 + t * (3 * a - a * t)) * t
    + (3 * b + t * (-6 * b + b * 3 * t)) * t
    + (c * 3 - c * 3 * t) * t2
    + d * t3;
}

CGFloat altBezierInterpolation(
   CGFloat t, CGFloat a, CGFloat b, CGFloat c, CGFloat d)
    {
// here's an alternative to Michal's bezierInterpolation above.
// the result is absolutely identical.
// of course, you could calculate the four 'coefficients' only once for
// both this and the slope calculation, if desired.
    CGFloat C1 = ( d - (3.0 * c) + (3.0 * b) - a );
    CGFloat C2 = ( (3.0 * c) - (6.0 * b) + (3.0 * a) );
    CGFloat C3 = ( (3.0 * b) - (3.0 * a) );
    CGFloat C4 = ( a );

    // it's now easy to calculate the point, using those coefficients:
    return ( C1*t*t*t + C2*t*t + C3*t + C4  );
    }







CGFloat bezierTangent(CGFloat t, CGFloat a, CGFloat b, CGFloat c, CGFloat d)
 {
    // note that abcd are aka x0 x1 x2 x3

/*  the four coefficients ..
    A = x3 - 3 * x2 + 3 * x1 - x0
    B = 3 * x2 - 6 * x1 + 3 * x0
    C = 3 * x1 - 3 * x0
    D = x0

    and then...
    Vx = 3At2 + 2Bt + C         */

    // first calcuate what are usually know as the coeffients,
    // they are trivial based on the four control points:

    CGFloat C1 = ( d - (3.0 * c) + (3.0 * b) - a );
    CGFloat C2 = ( (3.0 * c) - (6.0 * b) + (3.0 * a) );
    CGFloat C3 = ( (3.0 * b) - (3.0 * a) );
    CGFloat C4 = ( a );  // (not needed for this calculation)

    // finally it is easy to calculate the slope element,
    // using those coefficients:

    return ( ( 3.0 * C1 * t* t ) + ( 2.0 * C2 * t ) + C3 );

    // note that this routine works for both the x and y side;
    // simply run this routine twice, once for x once for y
    // note that there are sometimes said to be 8 (not 4) coefficients,
    // these are simply the four for x and four for y,
    // calculated as above in each case.
 }







@implementation MBBezierView

- (void)drawRect:(CGRect)rect {
    CGPoint p1, p2, p3, p4;

    p1 = CGPointMake(30, rect.size.height * 0.33);
    p2 = CGPointMake(CGRectGetMidX(rect), CGRectGetMinY(rect));
    p3 = CGPointMake(CGRectGetMidX(rect), CGRectGetMaxY(rect));
    p4 = CGPointMake(-30 + CGRectGetMaxX(rect), rect.size.height * 0.66);

    [[UIColor blackColor] set];
    [[UIBezierPath bezierPathWithRect:rect] fill];
    [[UIColor redColor] setStroke];
    UIBezierPath *bezierPath = [[[UIBezierPath alloc] init] autorelease];   
    [bezierPath moveToPoint:p1];
    [bezierPath addCurveToPoint:p4 controlPoint1:p2 controlPoint2:p3];
    [bezierPath stroke];

    [[UIColor brownColor] setStroke];

 // now mark in points along the bezier!

    for (CGFloat t = 0.0; t <= 1.00001; t += 0.05) {
  [[UIColor brownColor] setStroke];

        CGPoint point = CGPointMake(
            bezierInterpolation(t, p1.x, p2.x, p3.x, p4.x),
            bezierInterpolation(t, p1.y, p2.y, p3.y, p4.y));

            // there, use either bezierInterpolation or altBezierInterpolation,
            // identical results for the position

        // just draw that point to indicate it...
        UIBezierPath *pointPath =
           [UIBezierPath bezierPathWithArcCenter:point
             radius:5 startAngle:0 endAngle:2*M_PI clockwise:YES];
        [pointPath stroke];

        // now find the tangent if someone on stackoverflow knows how
        CGPoint vel = CGPointMake(
            bezierTangent(t, p1.x, p2.x, p3.x, p4.x),
            bezierTangent(t, p1.y, p2.y, p3.y, p4.y));

        // the following code simply draws an indication of the tangent
        CGPoint demo = CGPointMake( point.x + (vel.x*0.3),
                                      point.y + (vel.y*0.33) );
        // (the only reason for the .3 is to make the pointers shorter)
        [[UIColor whiteColor] setStroke];
        UIBezierPath *vp = [UIBezierPath bezierPath];
        [vp moveToPoint:point];
        [vp addLineToPoint:demo];
        [vp stroke];
    }   
}

@end

to draw that class...
MBBezierView *mm = [[MBBezierView alloc]
                     initWithFrame:CGRectMake(400,20, 600,700)];
[mm setNeedsDisplay];
[self addSubview:mm];

Вот две подпрограммы для вычисления приблизительно эквидистантных точек и касательных тех , что по незерской кубике.

Для ясности и надежности эти процедуры написаны простейшим, наиболее объяснимым, способом.

CGFloat bezierPoint(CGFloat t, CGFloat a, CGFloat b, CGFloat c, CGFloat d)
    {
    CGFloat C1 = ( d - (3.0 * c) + (3.0 * b) - a );
    CGFloat C2 = ( (3.0 * c) - (6.0 * b) + (3.0 * a) );
    CGFloat C3 = ( (3.0 * b) - (3.0 * a) );
    CGFloat C4 = ( a );

    return ( C1*t*t*t + C2*t*t + C3*t + C4  );
    }

CGFloat bezierTangent(CGFloat t, CGFloat a, CGFloat b, CGFloat c, CGFloat d)
    {
    CGFloat C1 = ( d - (3.0 * c) + (3.0 * b) - a );
    CGFloat C2 = ( (3.0 * c) - (6.0 * b) + (3.0 * a) );
    CGFloat C3 = ( (3.0 * b) - (3.0 * a) );
    CGFloat C4 = ( a );

    return ( ( 3.0 * C1 * t* t ) + ( 2.0 * C2 * t ) + C3 );
    }

Четыре предварительно подсчитанных значения, C1 C2 C3 C4, иногда называют коэффициентами безье. (Напомним, что abcd обычно называют четырьмя контрольными точками .)

Конечно, t работает от 0 до 1, например, каждые 0,05.

Просто вызовите эти процедуры один раз для X, а затем один раз отдельно для Y.

Надеюсь, это поможет кому-то!


Важные факты:

(1) Это абсолютный факт : к сожалению, есть, безусловно, метод NO, предоставленный Apple, для извлечения очков из UIBezierPath.

(2) Не забывайте, что это так же просто, как пирог, чтобы оживить что-то вдоль UIBezierPath. Google много примеров .

(3) Многие спрашивают: «Невозможно использовать CGPathApply для извлечения точек из UIBezierPath?» Нет, CGPathApply полностью не связан : он просто дает вам список ваших инструкций при создании любого пути (так, «начинайте здесь», «нарисуйте прямую линию до этой точки» и т. Д.),

Автор: Fattie Размещён: 09.07.2015 12:17

1 плюс

27302 Репутация автора

Я нашел слишком склонным к ошибкам использовать прилагаемые уравнения. Слишком легко пропустить тонкий t или неуместный кронштейн.

В отличие от этого, Википедия обеспечивает намного более четкое, чистое, производное ИМХО:

введите описание изображения здесь

... который легко реализуется в коде как:

3f * oneMinusT * oneMinusT * (p1 - p0)
+ 6f * t * oneMinusT * (p2 - p1)
+ 3f * t * t * (p3 - p2)

(при условии, что у вас есть вектор-минус, настроенный на выбранном вами языке, вопрос не отмечен как ObjC, и у iOS теперь есть несколько доступных языков)

Автор: Adam Размещён: 14.01.2018 11:20

0 плюса

1 Репутация автора

Я не мог заставить это работать, пока не понял, что для параметрических уравнений (dy / dt) / (dx / dt) = dy / dx

Автор: Rick Размещён: 19.04.2018 08:49

0 плюса

336 Репутация автора

Здесь идет моя реализация Swift.

Я старался изо всех сил оптимизировать скорость, устраняя все избыточные математические операции. т.е. сделать минимальное количество вызовов математическим операциям.

struct CubicBezier {

    private typealias Me = CubicBezier
    typealias Vector = CGVector
    typealias Point = CGPoint
    typealias Num = CGFloat
    typealias Coeficients = (C: Num, S: Num, M: Num, L: Num)

    let xCoeficients: Coeficients
    let yCoeficients: Coeficients

    static func coeficientsOfCurve(from c0: Num, through c1: Num, andThrough c2: Num, to c3: Num) -> Coeficients
    {
        let _3c0 = 3 * c0
        let _3c1 = 3 * c1
        let _3c2 = 3 * c2
        let _6c1 = 2 * _3c1

        let C = c3 - _3c2 + _3c1 - c0
        let S = _3c2 - _6c1 + _3c0
        let M = _3c1 - _3c0
        let L = c0

        return (C, S, M, L)
    }

    static func xOrYofCurveWith(coeficients coefs: Coeficients, at t: Num) -> Num
    {
        let (C, S, M, L) = coefs
        return ((C * t + S) * t + M) * t + L
    }

    static func xOrYofTangentToCurveWith(coeficients coefs: Coeficients, at t: Num) -> Num
    {
        let (C, S, M, _) = coefs
        return (3 * C * t + 2 * S) * t + M
    }

    init(from start: Point, through c1: Point, andThrough c2: Point, to end: Point)
    {
        xCoeficients = Me.coeficientsOfCurve(from: start.x, through: c1.x, andThrough: c2.x, to: end.x)
        yCoeficients = Me.coeficientsOfCurve(from: start.y, through: c1.y, andThrough: c2.y, to: end.y)
    }

    func x(at t: Num) -> Num {
        return Me.xOrYofCurveWith(coeficients: xCoeficients, at: t)
    }

    func y(at t: Num) -> Num {
        return Me.xOrYofCurveWith(coeficients: yCoeficients, at: t)
    }

    func dx(at t: Num) -> Num {
        return Me.xOrYofTangentToCurveWith(coeficients: xCoeficients, at: t)
    }

    func dy(at t: Num) -> Num {
        return Me.xOrYofTangentToCurveWith(coeficients: yCoeficients, at: t)
    }

    func point(at t: Num) -> Point {
        return .init(x: x(at: t), y: y(at: t))
    }

    func tangent(at t: Num) -> Vector {
        return .init(dx: dx(at: t), dy: dy(at: t))
    }
}

Используйте как:

let bezier = CubicBezier.init(from: .zero, through: .zero, andThrough: .zero, to: .zero)
let tangent = bezier.tangent(at: 0.5)
Автор: SirEnder Размещён: 07.12.2018 07:25
Вопросы из категории :
32x32