max=0
while read line
do
    temp=$(echo $line|tr -d "\n"|wc -c)
    if [ $temp -gt $max ]
    then 
        max=$temp
        echo $max
    fi
done <tmp
echo -n tmp $max

Согласно справочной странице bash каждая команда в конвейере выполняется в подоболочке. То есть ваш цикл while выполняется в подоболочке, и изменяется только значение переменной max в этой подоболочке.

Переменные подоболочек не передаются обратно вызывающей оболочке, которая выполняет команду echo и, таким образом, все еще видит начальное нулевое значение.

Если вы запустите echo в той же подоболочке (обратите внимание на фигурные скобки), она будет работать:

max=0
cat tmp|{
    while read line
    do
        temp=$(echo $line|tr -d "\n"|wc -c)
        if [ $temp -gt $max ];then
            max=$temp
        fi
    done
    echo -n tmp $max
}

Если вам нужно значение для дальнейших вычислений во внешней оболочке, вам нужно будет использовать подстановку команд следующим образом:

max=0
max=$(cat tmp|{
    while read line
    do
        temp=$(echo $line|tr -d "\n"|wc -c)
        if [ $temp -gt $max ];then
            max=$temp
        fi
    done
    echo -n $max
})
echo tmp $max

Канал перед вашим временем помещает все внутри цикла в отдельную оболочку и, таким образом, в отдельный контекст идентификатора (по сути, в новую среду).

Перенаправление tmpфайла в whileцикл с помощью <будет держать ваш цикл и переменные в одном контексте выполнения.

while read line
do
    # your loop stuff 
done < tmp

Вот один вкладыш в awk.

$ awk 'length>t{t=length}END{print t}' file
6